Client heißt auf Englisch etwa Kunde. Ein Client nimmt die Dienstleistung eines Servers in Anspruch - er sendet also Befehle und bekommt Ergebnisse zurückgeliefert, ganz wie im richtigen Leben...
Ein Unterschied zum richtigen Leben ist, dass es keine Unhöflichkeiten zwischen den beiden gibt: Sie sprechen in einer absolut standardisierten Sprache, dem sogenannten Protokoll. (Genauer gibt es natürlich sehr viele solcher Sprachen! Vielleicht haben Sie schon einmal HTTP, POP3, IMAP, SMTP oder FTP gehört - all dies sind Protokolle, also solche Sprachen.)
Bis auf Spezialfälle, in denen der Server auf dem gleichen Rechner läuft wie der Client, befindet sich der Server normalerweise weit weg, und der Client: das sind Sie! Momentan ist z.B. ein Client Ihr Webbrowser, und der Rechner, auf dem die Inhalte von sebkrause.de liegen (und der Ihrem Server eben diese auf Anfrage übermittelt), ist der Server.
Was bedeutet aber nun server- oder clientseitig? Stellen wir uns eine Webseite vor, die Ihnen die aktuelle Uhrzeit anzeigen soll. Diese kann man als Autor der Seite natürlich nicht direkt in die Seite hineinschreiben, denn sie ändert sich ja ständig (und man möchte ja nicht sekündlich seine Seite bearbeiten...). Also schreibt man an irgendeiner Stelle in den Code der Seite "Füge an dieser Stelle die aktuelle Uhrzeit ein"!
Nun sind beim Aufruf der Webseite ja zwei Rechner beteiligt: Zum Beispiel Ihrer, weil Sie (nehmen wir an) jetzt diese Seite aufrufen - Sie sind also wieder der Client; und der Computer, auf dem die Webseite liegt und der sie auf Anfrage ausliefert - also der Webserver. Welcher dieser beiden Rechner ermittelt nun die Uhrzeit?
Die Antwort: Beides ist möglich, der Programmierer der Webseite kann beides möglich machen.